در این مثال حل‌شده AHP، دو مکان انبار را با سه معیار مقایسه می‌کنیم، ماتریس‌ها را می‌سازیم، وزن‌ها و سازگاری را بررسی می‌کنیم و به نتیجه می‌رسیم: در سناریوی پایه، مکان الف با امتیاز ۰٫۵۲۵ و مکان ب با امتیاز ۰٫۴۷۵ رتبه‌بندی می‌شوند. سپس نشان می‌دهیم که با تغییر اهمیت معیارها، برنده عوض می‌شود.
این مقاله یک تمرین فرضی آموزشی است، نه دادهٔ یک پایان‌نامه یا ارزیابی واقعی دو انبار. هدف آن، یادگیری حل مسئله و شیوهٔ گزارش نتایج است. اعداد فرضی را به‌عنوان پاسخ خبرگان یا یافتهٔ پژوهش خود معرفی نکنید.
اگر هنوز با روش آشنا نیستید، ابتدا AHP چیست؟ را بخوانید. آموزش روش AHP با مثال تأمین‌کننده هم یک مسئلهٔ سه‌گزینه‌ای را پوشش می‌دهد؛ تمرین حاضر روی دو گزینه، تفسیر حساسیت و گزارش پایان‌نامه تمرکز دارد.
صورت تمرین: انتخاب مکان مناسب انبار
فرض کنید دو مکان الف و ب، هر دو الزامات ضروری راه‌اندازی انبار را دارند. تصمیم‌گیرنده باید با درنظرگرفتن سه معیار یکی را انتخاب کند:
- دسترسی مناسب: سهولت دسترسی به مسیرهای مورد نیاز توزیع.
- هزینهٔ مطلوب‌تر: ترجیح مکانی که از نظر هزینه برای تصمیم‌گیرنده مناسب‌تر است؛ هزینهٔ کمتر مطلوب‌تر فرض می‌شود.
- امکان توسعه: ظرفیت گسترش انبار در آینده.
در این تمرین، معیارها همین سه موردند و زیرمعیار نداریم. اعداد مقایسه، شدت ترجیح فرضی‌اند؛ مثلاً ترجیح هزینه با شدت ۵ الزاماً به معنی پنج برابر بودن قیمت اجاره نیست.
برای سه معیار، سه مقایسهٔ مستقل لازم است. برای دو مکان هم زیر هر معیار فقط یک مقایسه داریم. بنابراین این تمرین در مجموع شش قضاوت زوجی دارد: سه قضاوت معیارها و سه قضاوت گزینه‌ها.
گام اول: ماتریس مقایسه زوجی معیارها
قضاوت‌های فرضی معیارها چنین‌اند:
- دسترسی نسبت به هزینه با شدت ۲ ترجیح دارد.
- دسترسی نسبت به امکان توسعه با شدت ۲ ترجیح دارد.
- هزینه و امکان توسعه اهمیت برابر دارند.
عدد ۲ یک شدت میانی در مقیاس ۱ تا ۹ ساعتی است. در هر ماتریس، خانهٔ سطر نسبت به ستون تفسیر می‌شود، قطر اصلی ۱ است و مقدار خانهٔ مقابل، معکوس قضاوت اولیه است.
| معیار سطر / ستون | دسترسی | هزینه | توسعه |
|---|---|---|---|
| دسترسی | 1 | 2 | 2 |
| هزینه | 1/2 | 1 | 1 |
| توسعه | 1/2 | 1 | 1 |
مثلاً مقدار 1/2 در سطر هزینه و ستون دسترسی، همان قضاوت معکوسِ ترجیح دسترسی بر هزینه است؛ پاسخ مستقلی نیست.
گام دوم: محاسبه وزن معیارها
وزن‌های این ماتریس برابرند با:
| معیار | وزن | سهم از اهمیت معیارها |
|---|---|---|
| دسترسی | 0.50 | ۵۰٪ |
| هزینه | 0.25 | ۲۵٪ |
| امکان توسعه | 0.25 | ۲۵٪ |
برای دیدن مسیر حل دستی، جمع ستون‌ها را حساب کنید: ستون دسترسی ۲ و دو ستون دیگر هر کدام ۴ می‌شوند. با تقسیم هر خانه بر جمع ستون خودش، هر سه ستون به بردار یکسان 0.50, 0.25, 0.25 می‌رسند؛ بنابراین میانگین سطرها همین وزن‌هاست.
این یک راه ساده برای کنترل دستی همین ماتریس سازگار است. نرمال‌سازی ستون‌ها و میانگین سطرها را در حالت عمومی معادل دقیق روش بردار ویژه فرض نکنید. موتور DecideHub وزن‌ها را با بردار ویژهٔ اصلی محاسبه می‌کند و نتیجهٔ این تمرین با آن تطبیق داده شده است.
گام سوم: محاسبه نسبت سازگاری معیارها
اگر ماتریس معیارها را در بردار وزن ضرب کنیم، حاصل 1.50, 0.75, 0.75 است. با تقسیم هر مؤلفه بر وزن متناظر، هر سه مقدار برابر ۳ می‌شوند؛ پس در این مثال λmax = 3 است.
برای سه معیار:
- شاخص سازگاری:
CI = (3 - 3) / (3 - 1) = 0. - با شاخص تصادفی متداول
RI = 0.58، نسبت سازگاری:CR = 0 / 0.58 = 0.
مقایسه‌های این ماتریس کاملاً سازگارند. برای ماتریس‌های سه‌عاملی و بزرگ‌تر، آستانهٔ رایج بررسی CR ≤ 0.10 است. در پژوهش خود، روش و آستانهٔ انتخابی را با منبع مشخص گزارش کنید.
CR صفر، درست‌بودن معیارها یا واقعی‌بودن داده‌ها را ثابت نمی‌کند. سازگاری فقط هماهنگی داخلی قضاوت‌ها را بررسی می‌کند. برای جزئیات، راهنمای نسبت سازگاری AHP را ببینید.
گام چهارم: حل ماتریس گزینه‌ها زیر هر معیار
اکنون دو مکان را یک بار از نظر دسترسی، یک بار هزینه و یک بار امکان توسعه مقایسه می‌کنیم. مهم‌ترین نکته این است که در هر مقایسه فقط همان معیار را در نظر بگیرید.
مقایسه دو مکان از نظر دسترسی
فرض می‌کنیم مکان الف نسبت به ب با شدت ۴ دسترسی مطلوب‌تری دارد:
| مکان سطر / ستون | الف | ب |
|---|---|---|
| الف | 1 | 4 |
| ب | 1/4 | 1 |
وزن محلی الف 4/5 = 0.80 و وزن ب 1/5 = 0.20 می‌شود.
مقایسه از نظر هزینهٔ مطلوب‌تر
در معیار هزینه، ب با شدت ۵ بر الف ترجیح دارد:
| مکان سطر / ستون | الف | ب |
|---|---|---|
| الف | 1 | 1/5 |
| ب | 5 | 1 |
بنابراین وزن محلی الف 1/6 ≈ 0.1667 و وزن ب 5/6 ≈ 0.8333 است.
مقایسه از نظر امکان توسعه
در این معیار، ب با شدت ۲ بر الف ترجیح دارد:
| مکان سطر / ستون | الف | ب |
|---|---|---|
| الف | 1 | 1/2 |
| ب | 2 | 1 |
وزن محلی الف 1/3 ≈ 0.3333 و وزن ب 2/3 ≈ 0.6667 می‌شود.
برای یک ماتریس متقابل دو در دو، اگر گزینهٔ اول با شدت r ترجیح داشته باشد، وزن‌ها r/(1+r) و 1/(1+r) هستند. از همین رابطه می‌توانید جواب‌های بالا را کنترل کنید.
سازگاری ماتریس‌های دوگزینه‌ای را چگونه گزارش کنیم؟
در هر ماتریس دو در دو فقط یک قضاوت مستقل داریم و چرخهٔ سه‌تایی برای بررسی ناسازگاری وجود ندارد. شاخص تصادفی برای این اندازه صفر است؛ بنابراین نسبت CI/RI را مستقیماً تقسیم نکنید.
در گزارش، وضعیت این ماتریس‌ها را «بررسی CR موضوعیت ندارد» بنویسید. اگر نرم‌افزار در کنار این وضعیت عدد صفر نمایش می‌دهد، آن را مدرک مستقلی برای اعتبار علمی قضاوت‌ها معرفی نکنید. این تمایز با ماتریس سه‌معیاری بالا مهم است.
گام پنجم: محاسبه امتیاز نهایی و رتبه‌بندی
ابتدا وزن‌ها را در یک جدول کنار هم قرار دهید:
| گزینه | زیر دسترسی | زیر هزینه | زیر توسعه |
|---|---|---|---|
| مکان الف | 0.80 | 1/6 | 1/3 |
| مکان ب | 0.20 | 5/6 | 2/3 |
| وزن معیار | 0.50 | 0.25 | 0.25 |
امتیاز نهایی هر گزینه، مجموع حاصل‌ضرب وزن محلی آن در وزن معیار مربوط است. با اعداد گردنشده:
- مکان الف:
0.50 × 0.80 + 0.25 × (1/6) + 0.25 × (1/3) = 0.525. - مکان ب:
0.50 × 0.20 + 0.25 × (5/6) + 0.25 × (2/3) = 0.475.
| رتبه | گزینه | امتیاز نهایی | سهم از مجموع امتیازها |
|---|---|---|---|
| ۱ | مکان الف | 0.525 | ۵۲٫۵٪ |
| ۲ | مکان ب | 0.475 | ۴۷٫۵٪ |
با اینکه ب در دو معیار بهتر است، الف اول می‌شود؛ چون معیار دسترسی وزن بیشتری دارد. پس شمردن تعداد معیارهایی که هر گزینه در آن‌ها برنده است، جایگزین محاسبهٔ امتیاز نهایی نیست.
فاصلهٔ دو امتیاز فقط 0.05 است. سهم ۵۲٫۵ درصد به معنی احتمال موفقیت، اطمینان آماری یا برتری قطعی در دنیای واقعی نیست.
گام ششم: یک تحلیل حساسیت ساده انجام دهید
برای بررسی اثر ترجیحات، فقط اهمیت معیارها را تغییر دهید و مقایسهٔ مکان‌ها را ثابت نگه دارید. در سناریوی دوم فرض کنید هر سه معیار اهمیت برابر دارند؛ یعنی هر سه مقایسهٔ معیارها برابر ۱ می‌شوند.
ماتریس معیارها در این سناریو همه‌اش ۱ است، وزن هر معیار 1/3 و CR معیارها همچنان صفر است. نتیجهٔ جدید:
| سناریو | وزن دسترسی | وزن هزینه | وزن توسعه | امتیاز الف | امتیاز ب | رتبه اول |
|---|---|---|---|---|---|---|
| پایه | 0.50 | 0.25 | 0.25 | 0.5250 | 0.4750 | الف |
| معیارهای برابر | 1/3 | 1/3 | 1/3 | 0.4333 | 0.5667 | ب |
مثلاً امتیاز الف در حالت دوم از رابطهٔ (0.80 + 1/6 + 1/3) / 3 ≈ 0.4333 به دست می‌آید. محاسبه با مقادیر دقیق انجام شده و فقط نمایش جدول گرد شده است.
تغییر رتبه نشان می‌دهد نتیجه به اهمیت معیارها وابسته است. این فقط یک مقایسهٔ دو سناریویی است، نه تحلیل کامل تمام حالت‌ها. در پایان‌نامه، سناریوها را با دلیل انتخاب کنید؛ نه فقط برای رسیدن به برندهٔ دلخواه.
اجرای همین تمرین در محاسبه‌گر AHP
- محاسبه‌گر AHP آنلاین DecideHub را باز کنید و هدف را «انتخاب مکان انبار» بگذارید.
- سه معیار دسترسی، هزینه و امکان توسعه و دو گزینهٔ الف و ب را وارد کنید.
- برای معیارها، دسترسی را با شدت ۲ بر دو معیار دیگر ترجیح دهید و هزینه و توسعه را برابر بگذارید.
- زیر دسترسی، الف را با شدت ۴ ترجیح دهید؛ زیر هزینه، ب را با شدت ۵؛ و زیر توسعه، ب را با شدت ۲.
- وزن‌ها، وضعیت سازگاری و امتیازهای نهایی را با جدول‌های مقاله تطبیق دهید.
- برای سناریوی دوم، هر سه قضاوت معیارها را برابر قرار دهید و نتیجه را دوباره محاسبه کنید؛ قضاوت مکان‌ها ثابت بماند.
برای مقایسهٔ نتیجهٔ دو سناریو، خروجی هر کدام را جدا نگه دارید. اگر در جهت ورود قضاوت تردید دارید، راهنمای اسلایدر و ماتریس مقایسه زوجی را ببینید. برای ساخت محاسبهٔ دستی هم آموزش AHP در اکسل در دسترس است.
الگوی گزارش مثال AHP در پایان‌نامه
متن زیر فقط نمونهٔ نگارش برای همین داده‌های فرضی است. نام معیارها، دلیل انتخاب آن‌ها، جامعهٔ خبرگان، روش گردآوری و اعداد پژوهش شما باید از کار واقعی خودتان بیایند. سبک ارجاع و ساختار فصل را هم با شیوه‌نامهٔ دانشگاه هماهنگ کنید.
در این مثال آموزشی، دو مکان انبار بر اساس سه معیار دسترسی، هزینه و امکان توسعه ارزیابی شدند. با محاسبهٔ بردار ویژهٔ اصلی ماتریس معیارها، وزن‌های ۰٫۵۰، ۰٫۲۵ و ۰٫۲۵ به دست آمد. نسبت سازگاری ماتریس معیارها صفر بود. برای ماتریس‌های دوگزینه‌ای، بررسی نسبت سازگاری موضوعیت نداشت. با ترکیب وزن معیارها و اولویت‌های محلی، امتیاز نهایی مکان‌های الف و ب به‌ترتیب ۰٫۵۲۵ و ۰٫۴۷۵ محاسبه شد. در سناریوی اهمیت برابر معیارها، رتبهٔ اول به مکان ب تغییر کرد؛ بنابراین نتیجه به ترجیحات معیارها وابسته است.
برای یک گزارش قابل بررسی، این موارد را هم بیاورید:
- هدف تصمیم، تعریف معیارها و دلیل ورود یا حذف گزینه‌ها.
- منبع هر قضاوت و روش انتخاب افراد آگاه، اگر داده از خبرگان گرفته شده است.
- روش تجمیع قضاوت‌ها، اگر چند پاسخ‌دهنده دارید؛ این تمرین تجمیع گروهی ندارد.
- ماتریس‌های ورودی، روش استخراج وزن و نحوهٔ کنترل سازگاری.
- رتبه‌بندی، سناریوهای بررسی‌شده و محدودیت‌های نتیجه.
تعداد خبرگان یا پاسخ پرسشنامه را برای کامل‌شدن متن نسازید. این مثال صرفاً یک مجموعه قضاوت فرضی دارد و از آن نمی‌توان تعداد پاسخ‌دهندگان پژوهش واقعی را نتیجه گرفت. برای این موضوع، راهنمای حجم نمونه AHP را بخوانید.
تمرین کوتاه برای کنترل یادگیری
بدون تغییر قضاوت‌های مکان‌ها، وزن معیارها را برابر کنید و پیش از دیدن پاسخ حدس بزنید چه اتفاقی می‌افتد. آیا برنده‌شدن ب در دو معیار برای توضیح کامل نتیجه کافی است؟
پاسخ: در سناریوی معیارهای برابر، ب با امتیاز حدود 0.5667 اول است. توضیح دقیق باید به وزن‌ها و شدت ترجیح‌ها تکیه کند؛ صرفاً تعداد معیارهای برنده کافی نیست. نتیجه را با محاسبه‌گر یا رابطهٔ جمع وزنی کنترل کنید.
پرسش‌های رایج دربارهٔ مثال حل‌شده AHP
آیا می‌توان همین مثال را به‌عنوان یافتهٔ پایان‌نامه استفاده کرد؟
خیر؛ داده‌ها ساختگی و آموزشی‌اند. می‌توانید از مسیر حل و شیوهٔ گزارش یاد بگیرید، اما دادهٔ فرضی را جای دادهٔ گردآوری‌شده یا پاسخ خبرگان ننشانید. استفاده از مثال و منابع نیز باید با ارجاع روشن باشد.
چرا با CR صفر، نتیجه در سناریوی دوم عوض شد؟
چون CR هماهنگی درونی مقایسه‌ها را می‌سنجد، نه ثابت‌ماندن برنده در برابر تغییر ترجیحات. دو ماتریس معیار متفاوت می‌توانند هر دو سازگار باشند و رتبه‌بندی متفاوتی بسازند.
آیا ابزار آنلاین جای طراحی پژوهش را می‌گیرد؟
خیر. ابزار محاسبات را انجام می‌دهد؛ انتخاب معیارها، گردآوری داده، توجیه قضاوت‌ها و تفسیر پژوهش به عهدهٔ پژوهشگر است. برای شروع بدون فرمول‌نویسی، راهنمای AHP آنلاین را ببینید.
منبع و جمع‌بندی
مبنای روش در مقالهٔ توماس ساعتی دربارهٔ تصمیم‌گیری با AHP، سال ۲۰۰۸ توضیح داده شده است. اعداد، سناریوها و متن گزارش این صفحه، نمونه‌های آموزشی مستقل DecideHub هستند و با موتور محاسباتی سایت بررسی شده‌اند.
در این مثال حل‌شده AHP، الف در سناریوی پایه و ب در سناریوی معیارهای برابر اول شد. نکتهٔ اصلی فقط یافتن رتبهٔ اول نیست؛ باید بتوانید ورودی‌ها، وزن‌ها، سازگاری و علت تغییر نتیجه را توضیح دهید. برای تکرار همین مسیر، محاسبه‌گر AHP را باز کنید و هر دو سناریو را اجرا کنید.